微积分的力量

　　《黑天鹅》作者纳西姆·尼古拉斯·塔勒布对这本书的评价是：“高能预警：这是一本危险的书。它会让你爱上数学，甚至有可能把你变成一位数学家。”是的，这是一本关于微积分如何帮助人类探索自然和世界、展开科技发明和创新，从而推动人类文明进程的科普读物，它也是一本讲述阿基米德、毕达哥拉斯、牛顿、伽利略、开普勒等鼎鼎有名的人物如何解开了曲线之谜、运动之谜和变化之谜的科学史著作。在人类文明进程中的这些具有里程碑意义的发明和发现背后，微积分究竟扮演了什么样的角色？围绕曲线之谜、运动之谜和变化之谜，毕达哥拉斯、阿基米德、伽利略、开普勒、牛顿、莱布尼茨、爱因斯坦、薛定谔等如何用微积分的“钥匙”打开了宇宙奥秘之“锁”？这些谜题的解决方案对人类文明的进程和我们的日常生活又产生了什么样的深远影响？在《微积分的力量》书中，应用数学家兼“导游”斯托加茨将用一种“讲故事”和“看展览”的方式为你一一揭晓答案。“我们不必为了理解微积分的重要性而学习如何做运算，就像我们不必为了享用美食而学习如何做佳肴一样。我将借助图片、隐喻和趣闻逸事等，尝试解释你们需要了解的关于微积分的知识。我也会给你们介绍有史以来颇为精致的一些方程和证明，就像我们在参观画展的时候不会错过其中的代表作一样。”因此，哪怕你对数学及其在这个世界上扮演的角色只有一点点好奇心，也请你读读这本令人惊叹的书。教师、学生、你和我，都会因为这本书而受益匪浅。

　　美国康奈尔大学应用数学系教授、知名教师和数学家。他为《纽约时报》《纽约客》写作数学博客，也是美国科普电台、《科学星期五》的常驻嘉宾。他的主要代表作有《x的奇幻之旅》。他目前住在纽约伊萨卡。

引言
写给每个人的微积分读物
由微积分主宰的世界
微积分不只是一种语言
不合理的有效性
无穷原则
石巨人与无穷
曲线、运动和变化
第1章 无穷的故事
作为桥梁的无穷
比萨证明
极限与墙之谜
0.333…的故事
无穷多边形的故事
无穷的魅力和危险
除数为0的禁忌
实无穷之罪
芝诺悖论
芝诺悖论走向数字化
当芝诺悖论遇上量子力学
第2章 驾驭无穷的勇士
夹逼法与圆周率
圆周率之道
立体主义与微积分
奶酪论证
阿基米德方法
从计算机动画到面部手术
探索运动之谜
第3章 运动定律的探索之旅
亚里士多德的世界观
伽利略出场
下落、滚动与奇数定律
科学极简主义的艺术
从摆动的吊灯到GPS
开普勒与行星运动之谜
开普勒第一定律：椭圆轨道
开普勒第二定律：相等的时间，相等的面积
开普勒第三定律：行星的公转周期
开普勒与伽利略的异同点
阴云密布
第4章 微分学的黎明
代数在东方的崛起
代数的兴起与几何学的衰落
代数与几何学的邂逅
方程与曲线
在一起，会更好
费马vs笛卡儿
寻找失传已久的发现方法——分析
行李箱的优化问题
费马如何帮助了美国联邦调查局？
最短时间原理
关于切线的争论
近在眼前的应许之地
第5章 微积分的十字路口
函数的作用
幂函数
指数函数
10的次方
对数
自然对数及其指数函数
指数增长与指数式衰减的机制
第6章 变化率和导数
微积分的三大核心问题
线性函数及其恒定的变化率
非线性函数及其不断变化的变化率
作为昼长变化率的导数
作为瞬时速度的导数
第7章 隐秘的源泉
面积、积分和基本定理
运动使基本定理更直观
恒定的加速度
用油漆滚筒证明基本定理
基本定理的意义
积分学的圣杯
局部vs整体
一个孤寂的男孩
玩转幂级数
混搭大师
私密的微积分
第8章 思维的虚构产物
眨眼之间
无穷小量
2.001的立方
微分
微分求导法
通过微分推导出基本定理
莱布尼茨是如何发现微分和基本定理的？
在微积分的帮助下对抗HIV
第9章 宇宙的逻辑
自然的逻辑
二体问题
牛顿力学与《隐藏人物》
牛顿微积分与《独立宣言》
连续体与离散集
常微分方程与偏微分方程
偏微分方程与波音787客机
无处不在的偏微分方程
第10章 波、微波炉和脑成像
弦理论
为什么是正弦波？
振动模态的可视化：克拉德尼图形
最值得尊崇的勇气
微波炉
为什么微波炉最初被称作雷达灶？
CT与脑成像
第11章 微积分的未来
DNA的缠绕数
决定论及其局限性
非线性
混沌
庞加莱图
走上战场的非线性
微积分与计算机联盟
复杂系统与高维诅咒
计算机、人工智能和洞察力之谜
结语
小数点后8位
发现正电子
可以理解的宇宙
致谢

　　第1章 无穷的故事
数学的诞生建立在日常事务的基础之上：牧羊人需要记录羊群的数量，农夫需要给收获的粮食称重，税吏需要确定每个农民应向国王上缴多少牛或鸡，等等。出于这样的实际需求，数字被发明出来。一开始人们用手指和脚趾计数，后来他们用动物骨头上的划痕计数。随着数字的表现形式从划痕演变成符号，不管是税收和贸易，还是会计工作和人口普查，都便利了许多。在有5000多年历史的美索不达米亚泥板文书上，一排排用楔形文字记录的账目为我们提供了关于数字演化历程的证据。
除了数字，形状也很重要。在古埃及，线和角的测量是最重要的事。每年夏季，在尼罗河的洪水泛滥过后，土地测量员必须重新划定农田的边界线。后来，人们基于这项活动给研究形状的领域起了个名字：几何学。
起初，几何学研究的都是棱角分明的形状。它对直线、平面和角的偏爱反映出它的实用主义起源，比如，斜坡多为三角形，纪念碑和坟墓多为棱锥体，桌面、圣坛和田地则多为矩形。建造者和木匠使用铅垂线时要依靠直角。对水手、建筑师和神父来说，无论是勘测、航海、遵循历法、预测日食或月食，还是建造庙宇和神殿，关于直线的几何知识都必不可少。
尽管几何学执着于平直性，但有一种曲线总是十分引人注目，它就是最完美的曲线——圆。在树木的年轮、池塘的涟漪、太阳和月亮的形状中，我们都能看到圆。圆在大自然中无处不在。当我们凝视圆的时候，圆实际上也在注视着我们，因为它们就在我们所爱之人的眼睛里，在他们的瞳孔和虹膜的圆形轮廓中。圆不仅涵盖了实用物品和情感信物（比如车轮和婚戒），还很神秘。它们的永恒轮回让人联想到季节的循环、转世、永生和无尽的爱，难怪从人类研究形状开始，圆就一直备受关注。
在数学上，圆体现的是没有变化的变化。一个点绕圆周运动，尽管它的方向一直在变，但它到圆心的距离始终不变。这是一种微小的变化，也是一种得到曲线的最微不足道的方式。当然，圆还具有对称性。如果你让一个圆绕它的圆心旋转，那么它看上去没有任何变化。这种旋转对称性可能就是圆无处不在的原因，每当大自然的某个方面不在意方向时，圆就一定会出现。想想雨滴落进水坑里会发生什么：微小的涟漪从落点向外扩展。因为涟漪朝各个方向扩散的速度都一样，而且它们都从同一个点出发，所以它们必定是圆形的。这是对称性的要求。